《因式分解》 因式分解20道题

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求20道因式分解,20道解方程,20道计算!

1.a^4-4a+3

2.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n

3.x^2+(a+1/a)xy+y^2

4.9a^2-4b^2+4bc-c^2 5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)

答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3)

2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1] 3.(ax+y)(1/ax+y)

4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c)

5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b) = (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc) =c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc

=c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc =(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b) =(a-2b-c)^2 1.x^2+2x-8

2.x^2+3x-10 3.x^2-x-20 4.x^2+x-6 5.2x^2+5x-3 6.6x^2+4x-2 7.x^2-2x-3 8.x^2+6x+8

9.x^2-x-12 10.x^2-7x+10 11.6x^2+x+2 12.4x^2+4x-3

解方程：(x的平方+5x-6)分之一=(x的平方+x+6)分之一

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解.

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.

2、十字相乘法的用处：(1)用十字相乘法来分解因式.(2)用十字相乘法来解一元二次方程.

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错.

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单.2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目.3、十字相乘法比较难学.

5、十字相乘法解题实例： 1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m2+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题 因为 1 -2 1 ╳ 6

所以m2+4m-12=(m-2)(m+6) 例2把5x2+6x-8分解因式

分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题 因为 1 2 5

╳ -4 所以5x2+6x-8=(x+2)(5x-4) 例3解方程x2-8x+15=0

分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5. 因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0

所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x2-5x-25=0

分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1. 因为 2 -5 3 ╳

5 所以 原方程可变形成(2x-5)(3x+5)=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目

例5把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7,

18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x2-67xy+18y2=

(2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-(27y+1)x -(28y2-25y+3) 4y -3 7y ╳ -1

=10x2-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1) =[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] 2 -(7y – 1) 5 ╳ 4y - 3

=(2x -7y +1)(5x +4y -3) 说明：在本题中先把28y2-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y

-1),再用十字相乘法把10x2-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]

解法二、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3 2 -7y =[(2x -7y)+1]

[(5x -4y)-3] 5 ╳ 4y =(2x -7y+1)(5x -4y -3) 2 x -7y 1 5 x - 4y ╳ -3

说明:在本题中先把10x2-27xy-28y2用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)-

3用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3]. 例7：解关于x方程：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0

分析：2a2–ab-b2可以用十字相乘法进行因式分解 x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0 x2- 3ax +(2a2–ab - b2)=0 x2-

3ax +(2a+b)(a-b)=0 1 -b 2 ╳ +b [x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0 1 -(2a+b) 1 ╳ -(a-b) 所以

x1=2a+b x2=a-b 5-7(a+1)-6(a+1)^2 =-[6(a+1)^2+7(a+1)-5] =-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]

=-(2a+1)(3a+8); -4x^3 +6x^2 -2x =-2x(2x^2-3x+1) =-2x(x-1)(2x-1); 6(y-z)^2

+13(z-y)+6 =6(z-y)^2+13(z-y)+6 =[2(z-y)+3][3(z-y)+2] =(2z-2y+3)(3z-3y+2).

比如...x^2+6x-7这个式子 由于一次幂x前系数为6 所以,我们可以想到,7-1=6 那正好这个式子的常数项为-7 因此我们想到将-7看成7*(-1)

于是我们作十字相成 x +7 x -1 的到(x+7)·(x-1) 成功分解了因式 3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2

=3ab^2(1-3a+2a^2) =3ab^2(2a^2-3a+1) =3ab^2(2a-1)(a-1) 5-7(a+1)-6(a+1)^2

=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5] =-[2(a+1)-1][3(a+1)+5] =-(2a+1)(3a+8); -4x^3 +6x^2 -2x

=-2x(2x^2-3x+1) =-2x(x-1)(2x-1); 6(y-z)^2 +13(z-y)+6 =6(z-y)^2+13(z-y)+6

=[2(z-y)+3][3(z-y)+2] =(2z-2y+3)(3z-3y+2). 比如...x^2+6x-7这个式子 由于一次幂x前系数为6

所以,我们可以想到,7-1=6 那正好这个式子的常数项为-7 因此我们想到将-7看成7*(-1) 于是我们作十字相成 x +7 x -1

的到(x+7)·(x-1) 成功分解了因式 3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2 =3ab^2(1-3a+2a^2) =3ab^2(2a^2-3a+1)

=3ab^2(2a-1)(a-1) x^2+3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5).

⑹十字相乘法 这种方法有两种情况. ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

a b × c d 例如：因为 1 -3 × 7 2 -3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19, 所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3).

十字相乘法口诀：首尾分解,交叉相乘,求和凑中 ⑶分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识.

能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法. 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难. 同样,这道题也可以这样做. ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出.

2. x3-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1)

利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决. 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y+1) 利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决. 7582—2582

=(758+258)(758-258)=1016*500=

20道初二因式分解题目,急!

1.若2x3＋3x2＋mx＋1为x＋1的倍式,则m＝ 2.因式分解3a3b2c－6a2b2c2＋9ab2c3＝ 3.因式分解xy＋6－2x－3y＝ 4.因式分解x2(x－y)＋y2(y－x)＝ 5.因式分解2x2－(a－2b)x－ab＝ 6.因式分解a4－9a2b2＝ 7.若已知x3＋3x2－...

帮我出20道因式分解

例1 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解 (1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

2．求根法

我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如

f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

对于二次三项式ax2+bx+c，将a和c分别分解撑两个因数的乘积，a＝a1?6?1a2，c＝c1?6?1c2，且满足b＝a1?6?1c2+a2?6?1c1，往往写成十字的形式，将二次三项式进行分解。

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

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